Меню

Катер движется по течению реки 11

Задачи на движение по течению и против течения реки «золотые мысли» «если мы действительно что – то знаем то мы знаем благодаря изучению математики» пьер гассенди (1592 – 1655)

Задачи на движение по течению и против течения реки.

«Если мы действительно что – то знаем, то мы знаем благодаря изучению математики».

Пьер Гассенди (1592 – 1655),

французский философ и учёный.

Алгебра предлагает новые возможности решения задач. Чтобы научиться решать задачи, необходимо понять, как составить математическую модель к задаче, т.е. надо условие зада-чи, написанное на русском языке, перенести на язык математики. «Математика – это язык!» — сказал великий физик Гиббс.

Буквы помогают нам записывать условия задачи в виде уравнения, что намного упрощает решение этих задач.

Для составления уравнения по условию задачи необходимо выполнять следующие действия:

Ввести переменную, т.е. с помощью буквы обозначают неизвестную величину, которую

требуется найти в задаче, или она необходима для отыскания искомой величины.

С помощью введённой переменной и данных в задаче чисел и их соотношений составить

Если с помощью буквы обозначена неискомая величина, то с помощью дополнительных

решений находят ответ на поставленный вопрос.

В известной книге Д. Пойа «Как решать задачу» приведена таблица «Как искать решение?»

Как искать решение?

1. Понять задачу.

— Нельзя ли сформулировать задачу иначе, проще?

— Нельзя ли задачу свести к уже решённой?

— Все ли данные задачи были уже использованы?

2. Найти путь от неизвестного к известному.

— Что необходимо знать, чтобы найти неизвестное?

3. Реализовать решение от известного к неизвестному.

— Что можно найти, зная неизвестное?

— Проверить правильность каждого шага.

4 .Проверить решение.

— Правдоподобен ли результат?

— Нельзя ли сделать проверку?

— Нельзя ли упростить решение?

Пройденный путь определяется по формуле где скорость, t – время.

Если объект, имеющий собственную скорость в стоячей воде, движется по течению реки,

скорость течения реки которой равна U, то скорость объекта (относительно берега) будет равна .

Если объект движется против течения реки, то скорость объекта (относительно берега) будет равна (очевидно, что должно выполняться ).

Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то считают, что плот имеет ту же ско-рость, что и течение реки, т.е. U.

Обращайте особое внимание на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то время должно на протяжении всей задачи выражаться в

часах, а не в минутах, не должно в одном решении применяться километры и метры, путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в часах.

Моторная лодка прошла 4 км против течения реки, а затем прошла еще 33км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 6,5км/ч.

Проанализируем задачу, выделим все условия ; установим, какие объекты входят в условие; какие характеристики или отношения между объектами заданы в условии.

— Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

— Выразим скорость движения моторной лодки против течения реки.

— Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь по течению реки.

— Составим уравнение, учитывая, что на весь путь моторная лодка затратила 1 час.

Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна ( +6,5) км/ч, а против течения реки — ( -6,5) км/ч.

Время, затраченное моторной лодкой по течению реки — часов, а против течения реки — часов.

Зная, что моторная лодка на весь путь затратит один час, составим уравнение : + =1.

+ = 1, если то умножим обе части уравнения на , получим

Если и , то , значит и — являются корнями данного уравнения.

4,5 км/ч- не удовлетворяет условию задачи (при такой скорости моторная лодка не поплыла бы против течения реки).

В первой части рассматриваются примеры составления математической модели к задаче, работать с математической моделью.(математические классы)

Текстовые задачи на движение по течению и против течения реки.

1. Пункты А и В расположены на берегу реки. Почтальон доставляет корреспонденцию из А в В

на моторной лодке, проплывая против течения число километров, равное тому значению в

уравнении при котором дискриминант его равен единице. Определите

скорость течения реки, если на весь путь туда и обратно уходит 1 ч 6 мин 40 сек, а скорость дви-

жения лодки в стоячей воде 9,6 км /ч.

Зная, что число километров равно тому значению в уравнении при котором дискриминант его равен единице, т.е.

Пусть км/ч скорость течения реки.

Зная, что на весь путь туда и обратно уходит 1 ч 6 мин 40 сек , т.е. часа, составим уравнение:

+ = , если то умножим обе части уравнения на получим

При выражение то — корень уравнения.

2,4 км/ч — скорость течения реки.

2. От пристани А к пристани В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и

лодка плыла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости

менно. Найти собственную скорость (скорость в неподвижной воде) байдарки.

Пусть км/ч собственная скорость байдарки.

Зная, что к пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновременно, составим уравнение:

+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим

8 км/ч – собственная скорость байдарки.

3. Из пункта А в пункт В по течению отплывает лодка. Одновременно с ней из пункта В против тече-

ния отправляется катер, который, прибывает в А, не останавливаясь, следует обратно в пункт В, а

ть катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся против течения?

Пусть км/ч собственная скорость лодки, а км/ч скорость течения реки. Зная, что скорость лодки при движении по течению реки в 9 раз больше ее скорости при движении против течения, т.е.

км/ч скорость течения реки.

км/ч собственная скорость катера.

Зная, что катер и лодка до последней встречи находились в пути одно и то же время, составим уравнение:

так как по условию задачи то разделим обе части уравнения на

не удовлетворяет условию задачи, т.к ,

— во столько раз скорость катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся по течению.

4. В озеро впадает две реки. Лодка отплывает от пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз до озера, далее 19 км по озеру (в озере нет течения) и 24 км по второй реке против течения до пристани В, затратив 8 часов на весь путь от А до В. Из этих 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найти ско-рость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки, т. е. скорость лодки в стоячей воде, постоянна).

Пусть 9,5 км/ч собственная скорость лодки, км/ч скорость течения реки.

течению по первой реке

Зная, что из 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру, составим уравнение:

+ = 6, если то умножим обе части уравнения на , получим

не удовлетворяет условию задачи, так как

Если то то корень уравнения.

1,5 км/ч скорость течения второй реки, а 2,5 км/ч скорость течения первой реки.

Ответ. 2,5 км/ч и 1,5 км/ч.

5. От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли теплоход и плот. Теплоход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км от А, второй теплоход, отплывший из А на 40 часов позднее первого, нагнал плот, успевший к этому моменту проплыть 144 км. Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости теплоходов в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить скорости теплоходов и течения реки.

Пусть км/ч собственные скорости теплоходов, а км/ч скорость течения реки.

первый теплоход по течению реки

первый теплоход против те-

второй теплоход по

Зная, что второй теплоход отплыл из А на 40 часов позднее первого, составим уравнение:

1 . Из второго уравнения выразим через — = 40, так как то умножим

обе части уравнения на получим

2 . подставляя во второе уравнение , получим

если то умножим обе части уравнения на

Если то что не удовлетворяет условию задачи.

15 км/ч скорости теплоходов, 3 км/ч скорость течения реки.

Ответ. 15 км/ч, 3 км/ч.

6. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км

до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 час. на весь путь от А

до В. Затем катер возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же

18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до пристани В

Пусть км расстояние по реке , тогда км расстояние от пристани А до пристани В,

Смотрите так же:  Главные реки в италии

а км/ч скорость течения реки.

Зная, что на весь от А до В катер затратил 18 часов, составим уравнение: + = 18.

Зная, что время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 часов, составим урав-нение: + = 15.

1. Из первого уравнения выразим S через , получим

2. Из второго уравнения выразим S через , получим

3. Составим уравнение: ,

если то умножим обе части уравнения на , получим

данное уравнение равносильно системе

— не удовлетворяет условию задачи, так как

2 км/ч скорость течения реки, 290 км расстояние от пристани А до пристани В.

Ответ. 2 км/ч, 290 км.

Во второй части необходимо решить несколько задач.

Задания направлены на проверку умений:

— решать текстовые задачи, используя алгебраический метод (составление уравнений, систем),

работать с математической моделью.

Задачи для самостоятельного решения. (ЕГЭ – 11 класс, часть В)

1. Моторная лодка прошла против течения реки 165 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2010 г)

2. Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2010 г)

3. Из двух пунктов реки навстречу друг другу плывут две моторные лодки, собственные ско-рости которых равны. Скорость течения реки равна 2 км/ч. До встречи лодка, идущая по тече-нию, шла 0,9 ч, а другая 1ч. Найдите собственную скорость лодок, идущая по течению, прош-ла на 2км больше другой.

4. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км/ч?

5. Катер проходит путь от А до В по течению реки за часов, плот проплывает тот же путь за часов. Сколько часов будет плыть катер от В до А? Предполагается, что собственная ско-рость катера постоянна в течение всего времени движения.

6.Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в пол-

тора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстаёт от парохода на 8 км. Если они плывут против течения, то пароход идёт от В до А в два раза быстрее (по времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.

7. Моторная лодка прошла против течения реки 144 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

8. Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления,

затратив на обратный путь на 3 часа больше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

9. Прогулочный катер вышел 14 : 00 из пункта А в пункт В, расположенный в 20 км от А. Пробыв 15 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18 : 00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно скорость катера равна 12 км/ч.

(ЕГЭ- 11класс 2011 г).

10. Моторная лодка вышла 9 : 00 из пункта А в пункт В, расположенный в 14 км от А. Пробыв 1 час 20 минут в пункте В, лодка отправилась назад и вернулся в пункт А в 17 : 00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно скорость лодки равна

5 км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

11.Теплоход проходит по течения реки до пункта назначения 221 км и сразу возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч и на путь против течения реки теплоход затратил на 4 часа больше, чем на путь по течению реки. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

12.Теплоход проходит по течения реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвра- щается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в непод- вижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращает-ся через 40 часов после отплытия от него. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

13. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через

2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстоя- ние между пунктами равно 225 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В он при-был одновременно со вторым. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

14.На озере от пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый тепло-ход , а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пунктами равно 418 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. (ЕГЭ- 11класс 2011 г).

«Текстовые задачи по течению и против течения реки» (ГИА-9 класс, 2 часть)

1. Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 часов. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. На ка- кое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 часа?

2. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по тече-

нию и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затра —

ченное на весь путь, равно 4 ч.

3. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и через 2,5 ч вернулась обрат-

но, затратив на стоянку 25 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лод-

ки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.

4. Лодка может проплыть 18 км по течению реки и еще 2 км против течения за то же время, какое

требуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если извес-

тно, что собственная скорость лодки 8км/ч.

5. За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 ч

прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость ка-

тера и скорость течения реки.

6. Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад

через 5 часов. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 часа. На какое наибольшее рас-

стояние он может отплыть, если скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки

7. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по те

чению реки, затратив на весь путь 14 ч. Определите собственную скорость лодки, если скоро-

сть течения реки 2 км/ч.

8. Расстояние между двумя пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной

пристани к другой и через 4 часа вернулась назад, затратив 24 мин на стоянку. Найдите собст-

венную скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

9. Катер проплывает 8 км против течения реки и еще 30 км по течению за то же время, за которое

плот может проплыть по этой реке 4 км. Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Найдите

скорость течения реки.

10. Моторная лодка прошла 16 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь

3 часа. В другой раз эта лодка за 2 часа прошла 8 км по течению реки и 12 км против течения.

Найдите собственную скорость моторной лодки и скорость течения реки.

11 Математик шёл домой вверх по течению ручья со скоростью в полтора раза большей, чем ско-

рость течения, и держал в руке палку и шляпу. Он бросил в ручей шляпу, перепутав её с пал-

кой, и продолжил идти с той же скоростью. Вскоре он заметил ошибку, бросил палку в ручей

и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шёл вперёд. Догнав плывущую шляпу, он

мгновенно выудил её из воды, повернулся и пошёл вверх по течению с первоначальной ско-

ростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше пришёл

бы он домой, если бы не перепутал палку со шляпой.(сложная задача)

«Текстовые задачи по течению и против течения реки» (ГИА-9 класс, 1часть)

Смотрите так же:  Река шулма

1) Расстояние между двумя пристанями 30 км. Лодка проплыла от одной пристани до дру-гой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов 20 минут. Найдите скорость тече-ния реки, если собственная скорость лодки 12 км/ч.

2) Расстояние между пунктами и по реке 10 км. Лодка проплыла от пункта до пункта и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

3) Моторный катер проплыл от одной пристани по течению реки за 5 часов, а обратный путь против течения у него занял 7 часов. Найдите собственная скорость катера в км/ч, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначьте буквой собственная скорость моторной лодки (в км/ч) и составьте урав-нение по условию задачи.

4) Расстояние между двумя пристанями по реке 12 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Обозначьте буквой собственная скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

5) Расстояние между пунктами и по реке 15 км. Лодка проплыла от пункта до пункта и вернулась обратно, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственная ско-рость лодки, если скорость течения реки 1 км/ч.

Обозначьте буквой собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

6) На путь от турбазы до озера прогулочный катер затрачивает по течению реки 2 часа, а на обратный путь против течения – 3 часа. Какова скорость течения реки в км/ч, если собственная скорость катера равна 20 км/ч?

Обозначьте буквой скорость течения реки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

7) Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до дру-гой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

8) Катер плыл по течению из пункта в пункт . После часовой стоянки в пункте катер отправился обратно и через 5 часов после отплытия из пункта вернулся на ту же пристань. Какова скорость катера в стоячей воде, если расстояние между пунктами и 40 км, а скорость течения 3 км/ч?

Обозначьте буквой скорость катера в стоячей воде (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

Проведения экзамена по математике в виде ЕГЭ, ГИА не избавляет от необходимости научиться решать задачи.

Выбор рационального метода решения экономит время и уменьшает количество ошибок.

Надеюсь, что навыки решения предлагаемых задач, помогут в будущем успешно сдать экзамен по математике.

I. Кинематика. Равномерное движение и относительное движение.

Пассажир электропоезда заметил, что встречный состав, состоящий из тепловоза и 10 вагонов, прошел мимо него в течение 10 секунд. Чему равна скорость электропоезда, если известно, что длина вагона 16,5 м., длина тепловоза 20 м., расстояние между вагонами 1,5 м? В момент встречи оба поезда шли с равными по величине скоростями.

Самолет летит из пункта М в пункт Nи обратно со скоростьюv1=300 км/ч (относительно воздуха). Сколько времени затратит самолет на весь полет, если вдоль линии полета непрерывно дует ветер со скоростьюv2=60 км/ч? Расстояние между пунктами М иNравно 900 км.

При равномерном движении двух тел навстречу друг другу расстояние между ними уменьшается на 16 м за каждые 10 сек. Если тела, не меняя по величине скорости, движутся в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться на 3 м за каждые 5 сек. Каковы скорости каждого из тел?

Пассажир, стоящий у окна поезда, движущегося со скоростью 15 м/с, видит проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 10 м/с. Сколько времени будет видеть он этот поезд, если длина поезда 150 м?

Катер движется по течению реки из пункта А в пункт В 3 часа, а обратно — 6 часов. Сколько времени потребовалось бы этому катеру, чтобы проплыть расстояние АВ при выключенном моторе?

Одинаковое ли будет время проезда расстояния в 1 км на катере туда и обратно по реке (скорость течения реки 2 км/ч) и по озеру (в стоячей воде), если скорость катера относительно воды в обоих случаях составляет 8 км/ч? Ответ подтвердить рассчетами.

Определить, какова будет длина пути, пройденного катером относительно воды в реке, в условиях предыдущей задачи.

Скорость течения реки v= 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно водыv1= 6 км/ч. Определить, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.

Капля дождя при скорости ветра v1= 11 м/с падает под углом?= 30 о к вертикали. Определить, при какой скорости ветраv2капля будет падать под углом?= 45 о .

Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью v1= 16 км/ч, вторую половину времени — со скоростьюv2= 12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью v1= 16 км/ч, вторую половину пути — со скоростьюv2=12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью v1= 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростьюv2= 12 км/ч , а затем до конца пути шел пешком со скоростьюv3= 5 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через t= 5с. Принимая скорость звукаv= 400 м/с, определить глубину колодца.

14) Две прямые дороги пересекаются под углом ?=60 о . От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростьюv1=60 км/ч., другая со скоростьюv2=80 км/ч. Определить скоростиv?иv??, с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

15) Точка двигалась в течение t1=15с со скоростьюv1=5 м/с, в течениеt2=10cсо скоростьюv2=8 м/с и в течениеt3=6с со скоростьюv3=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость точки.

16) Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v1=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростьюv2=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость автомобиля?

17) Первую половину пути тело двигалось со скоростью v1=2м/с, а вторую — со скоростьюv2=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость.

По двум параллельным путям в одном направлении идут два поезда: пассажирский длины 200 м со скоростью 72 км/ч и товарный — длины 800 м со скоростью 27 км/ч. Сколько времени пассажирский будет обгонять товарный?

Катер, идущий по озеру со скоростью 72 км/ч, обгоняет теплоход, идущий параллельным курсом в том же направлении со скоростью 54 км/ч, причем проходит расстояние, равное длине теплохода за 1 мин. Найти длину теплохода.

Корабль движется в стоячей воде со скоростью 20 км/ч. С какой скоростью подходит спереди к кораблю катер, движущийся перпендикулярно к курсу, если с корабля кажется, что катер перемещается под углом 60?к курсу корабля?

Капли дождя падают вертикально со скоростью 20 м/с. Под каким углом капли падают на переднее стекло автомобиля, идущего со скоростью 54 км/ч, если это стекло наклонено к вертикали под углом 10??

Один автомобиль идет с юга на север со скоростью 80 км/ч, другой — с запада на восток со скоростью 60 км/ч. Найти скорость второго автомобиля относительно первого.

Экскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 сек. Сколько времени спускается человек, стоящий на экскаваторе?

Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами по течению реки за время 3 часа, а плот — за 12 часов. Сколько времени затратит моторная лодка на обратный путь?

Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона друг относительно друга равно 6 см. Какова скорость движения пули?

С пристани А вверх и вниз по реке отправляются два одинаковых катера и прибывают к пристаням В и С через одинаковые промежутки времени. Обратное возвращение из В в А требует в 1,5 раза больше времени, чем возвращение второго катера из С в А. Во сколько раз скорость катера в стоячей воде больше скорости течения реки?

Катер движется по течению реки 11

Уравнение, которое составляют на основании условий задачи на движение, обычно содержат такие величины как расстояние, скорость и время движущихся объектов.

Пройденный путь S определяется по формуле S=v*t где v- скорость, t – время.

Если объект, имеющий собственную скорость V в стоячей воде, движется по течению реки,

скорость течения реки которой равна U, то скорость объекта (относительно берега) будет равна V + U.

Если объект движется против течения реки, то скорость объекта (относительно берега) будет равна V- U (очевидно, что должно выполняться V>U).

Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то считают, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки, т.е. U.

Обращайте особое внимание на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то время должно на протяжении всей задачи выражаться в

Смотрите так же:  Пейзаж камень у реки

часах, а не в минутах, не должно в одном решении применяться километры и метры, путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в часах.

Нужно все время помнить, о том что в текстовых задачах все величины, как правило, поло-жительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны).

Моторная лодка прошла 4 км против течения реки, а затем прошла еще 33км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 6,5км/ч.

Проанализируем задачу, выделим все условия; установим, какие объекты входят в условие; какие характеристики или отношения между объектами заданы в условии.

— Обозначим через Х км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

— Выразим скорость движения моторной лодки по течению реки.

— Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь против течения реки.

— Исключим те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна ( Х+6,5) км/ч, а против течения реки — ( Х-6,5) км/ч.

Время, затраченное моторной лодкой по течению реки — часов, а против течения реки — часов.

Зная, что моторная лодка на весь путь затратит один час, составим уравнение: + =1.

+ =1, если то умножим обе части уравнения на , получим

33 ( x — 6,5 )+ 4 ( x + 6,5 )= ( x — 6,5 ) * ( x + 6,5 ) ,

Если x1 = 4,5 и x2 = 32,5 то , значит x1 = 4,5 и x2 = 32,5 — являются корнями данного уравнения.

32,5 км/ч – скорость моторной лодки в стоячей воде.

Задача № 1. Пункты А и В расположены на берегу реки. Почтальон доставляет корреспонденцию из А в В на моторной лодке, проплывая против течения число километров, равное тому значению k в

уравнении при котором дискриминант его равен единице. Определите

скорость течения реки, если на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, а скорость дви-

жения лодки в стоячей воде 9,6 км /ч.

Зная, что число километров равно тому значению k в уравнении при котором дискриминант его равен единице, т.е.

реки 5

9.6 + x против тече-

ния реки 5

9.6 — x

Пусть x км/ч скорость течения реки.

Зная, что на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, т.е. 10 / 9 часа, составим уравнение:

+ = .

+ = . если то умножим обе части уравнения на получим

При x = 2,4 выражение то x = 2,4 — корень уравнения.

2,4 км/ч — скорость течения реки.

Задача № 2. От пристани А к пристани В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и

байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Последнюю 1/10 часть пути от А до В моторная

течения. На той части пути, где моторная лодка плыла с работающим мотором, ее скорость была

на 8 км/ч больше скорости байдарки. К пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновре-

Пусть x км/ч собственная скорость байдарки.

S, км V, км/ч t, ч моторная

лодка 9/10 S x + 2.8 байдарка S

x + 2 моторная

лодка 1/10 S 2

+ = .

+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим

,

x1 = -18 — не удовлетворяет условию задачи, так как x > 0

x2 = 8,

Если x = 8, то то x = 8 корень уравнения.

8 км/ч – собственная скорость байдарки.

Задача № 3. Из пункта А в пункт В по течению отплывает лодка. Одновременно с ней из пункта В против тече-ния отправляется катер, который, прибывает в А, не останавливаясь, следует обратно в пункт В, а

из В так же без остановки отправляется в А. На этом последнем участке маршрута катер опять

встречает лодку, которая прошла к этому моменту 3/4 пути от А до В. Скорость лодки при движе-

нии по течению в 9 раз больше ее скорости при движении против течения. Во сколько раз скорос-

Пусть x км/ч собственная скорость лодки, а t км/ч скорость течения реки. Зная, что скорость лодки при движении по течению реки в 9 раз больше ее скорости при движении против течения, т.е.

0,8 x км/ч скорость течения реки.

y км/ч собственная скорость катера.

S, км V, км/ч t, ч лодка 3/4 S x + 0,8 X катер S

y — 0.8 x катер S

y + 0.8 x катер 1/4 S y — 0.8 x

Зная, что катер и лодка до последней встречи находились в пути одно и то же время, составим уравнение:

+ + = .

+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим

так как по условию задачи x>0 то разделим обе части уравнения на 3x

пусть тогда

не удовлетворяет условию задачи, т.к t > 0,

— во столько раз скорость катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся по течению.

то

Задача № 4. В озеро впадает две реки. Лодка отплывает от пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз до озера, далее 19 км по озеру (в озере нет течения) и 24 км по второй реке против течения до пристани В, затратив 8 часов на весь путь от А до В. Из этих 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найти ско-рость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки, т. е. скорость лодки в стоячей воде, постоянна).

Пусть 9,5 км/ч собственная скорость лодки, x км/ч скорость течения реки.

S, км V, км/ч t, ч лодка вниз по

течению по первой реке 36 9.5 + x + 1 по озеру 19

9,5 2 лодка против

второй реке 24

9.5 — x

Зная, что из 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру, составим уравнение:

+ = 6.

+ = 6. , если то умножим обе части уравнения на , получим

x1 = — 0,5 не удовлетворяет условию задачи, так как x>0.

Если x = 1.5, то то x = 1.5 — корень уравнения.

Если x = 1.5 то .

1,5 км/ч скорость течения второй реки, а 2,5 км/ч скорость течения первой реки.

Задача № 5. От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли теплоход и плот. Теплоход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км от А, второй теплоход, отплывший из А на 40 часов позднее первого, нагнал плот, успевший к этому моменту проплыть 144 км. Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости теплоходов в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить скорости теплоходов и течения реки.

Пусть x км/ч собственные скорости теплоходов, а y км/ч скорость течения реки.

S, км V, км/ч t, ч первый теплоход по течению реки 324 x + y плот 144

y первый теплоход против те-

течения реки 324 — 180 =144 x — y второй теплоход по

течению реки 144 x + y

Зная, что первый теплоход и плот находились в пути одно и то же время, составим уравнение:

Зная, что второй теплоход отплыл из А на 40 часов позднее первого, составим уравнение:

= 40.

Составим систему:

Решение системы:

1. Из второго уравнения выразим x через y, = 40. , так как то умножим

обе части уравнения на получим

2. подставляя во второе уравнение , получим

если то умножим обе части уравнения на

получим

Если то

Если то что не удовлетворяет условию задачи.

15 км/ч скорости теплоходов, 3 км/ч скорость течения реки.

Задача № 6. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 час. на весь путь от А

пути равно 15 часов. Собственная скорость катера, т.е. скорость катера в стоячей воде, равна

и какова скорость течения притока?

Пусть км расстояние по реке , тогда км расстояние от пристани А до пристани В,

а км/ч скорость течения реки.

S, км V, км/ч t, ч по течению

притока 80 против тече-

ния реки

15 по течению

реки 21 против тече-

ния притока 80

Зная, что на весь от А до В катер затратил 18 часов, составим уравнение: + = 18.

Зная, что время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 часов, составим урав-нение: + = 15.

Составим систему:

Решение системы:

1. Из первого уравнения выразим S через , получим

2. Из второго уравнения выразим S через , получим

3. Составим уравнение: ,

, ,

если то умножим обе части уравнения на , получим

данное уравнение равносильно системе

— не удовлетворяет условию задачи, так как

.

Если то 324-

Если то

то

2 км/ч скорость течения реки, 290 км расстояние от пристани А до пристани В.